1.2.5 Das kritische Stadium von Schreiben und Lesen
In diesem Stadium verbessern die Schüler ihre Lesefähigkeit, ihre Lernfähigkeiten, ihre Verstehensfähigkeiten und die Struktur der schriftlichen Sprache. Das Lesen wird analytisch und synthetisch.
Beim analytischen Lesen stützen sich die Schüler auf die vorhergehenden Kenntnisse, setzen sich damit auseinander, unterstreichen Sätze, erklären, ziehen Schlussfolgerungen, verallgemeinern usw. Beim synthetischen Lesen untersuchen sie alternative Möglichkeiten, entscheiden sich für Änderungen und begründen ihren Einsatz.
Der kritische Alphabetismus hilft den Schülern bei der Bearbeitung von Texten, damit sie in der Folge auch schreiben können. Die Schüler können die Rolle des Lehrers übernehmen; so lernen sie, Fertigkeiten zu entwickeln, Texte zu bearbeiten und zu erstellen. Die Schüler können z.B. Fragen formulieren, zusammenfassen, Annahmen formulieren, etwas erklären, beschreiben ... Dadurch wird auch der schriftliche Ausdruck der Schüler verbessert, indem die Schüler Begriffe bilden und sie richtig bei der Erklärung der Wörter benutzen, verbal wiederholen und Texte erstellen.

2 Mathematik
2.1 Kritik an Piaget
Obwohl PIAGET zu den wichtigsten Forschern des mathematischen Lernprozesses bei Kindern gehört und seine Theorie bedeutende Grundsätze enthält, ist ihm starke Kritik entgegengebracht worden. Er konzentrierte sich vor allem darauf, wie der Mensch Kenntnisse erwirbt und wie sein Wissensstand aufgebaut wird. Mit der Frage, wie man sich konkrete, einzelne Kenntnisse aneignet, beschäftigte er sich weniger. Ausgehend davon, dass das "Allgemeine" und das "Besondere" parallel verlaufende Prozesse sind, forschte er nach Möglicheiten der Verbindung und Parallelisierung der Entwicklung des persönlichen und des allgemeinen Wissens.
Dem mathematischen Verständnis wie auch der allgemeinen psychischen Entwicklung des Kindes galt seine Aufmerksamkeit nur nebenbei. Er beschäftigte sich weder eingehend mit der Frage "wie Kinder Mathematik lernen", noch damit "wie ihnen in der Schule geholfen werden könnte".
Mit seiner Theorie hat er die Entwicklung des Denkens und Verstehens bei Kindern von ihrer Geburt an bis zum Erwachsenenalter erklärt. Die Erkenntnis der Entwicklung des mathematischen Denkens war eher die Folge dieser Theorie, nicht umgekehrt. Man könnte sogar behaupten, dass der Erwerb mathematischen Wissens im Grunde keine allzu schwierige Angelegenheit darstellt, da sich die mathematischen Begriffe in großem Maße "unabhängig und spontan" entwickeln.
GUY GROEN und CAROLYN KIERAN glauben, dass die Theorie von Piaget zweideutig, umständlich und missverständlich sei. Außerdem behaupten sie, das Werk Piagets, selbst der Teil, der sich speziell mit der Zahl befasst, habe möglicherweise nichts mit dem Verständnis der Schwierigkeiten zu tun, welche die Mathematik aufweist, da - wie er selbst zugibt - die Erhaltung der Zahl sowie der Prozess der Zuordnung ursprünglich nicht auf mathematischem, sondern auf logischem Denken beruht.
DOISE und seine Mitarbeiter glauben, dass die kognitive und die soziale Entwicklung ursächlich miteinander verbunden sind und lehnen die Auffassung ab, dass die soziale Entwicklung unabhängig von der kognitiven verlaufen kann. Es bestehe kein Zweifel, dass die sozialen und persönlichen Beziehungen die kognitive Entwicklung unterstützen kann.
HUGHES führt an, dass die "Mathematik-Erziehung" früh - bereits im Vorschulalter - anfangen muss, um das Kind in die abstrakte Sprache der Mathematik einzuführen und dabei das Verständnis der Zusammenhänge zu erleichtern.
Piaget habe - so HUGHES - keine ausführlichen Beschreibungen der Prozesse der Lösungsfindung von Mathematikaufgaben geliefert; er hat nicht versucht, den Einfluss des sozialen und kulturellen Milieus auf den Erwerb von Mathematikkenntnissen zu untersuchen. Sicher sei, dass die Entwicklung des mathematischen Denkens kein sehr spontaner oder einfacher Prozess ist, wie Piaget behauptet.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Piaget, trotz all seiner bedeutenden Grundprinzipien, starke Kritik entgegengebracht wird, weil er die Fähigkeiten der kleinen Kinder unterschätzt hat und den Rahmen ignoriert hat, innerhalb dessen der Denkprozess abläuft. Seine Theorie wird als nicht ausreichend angesehen, um die Schwierigkeiten zu verstehen, die Kinder mit der Mathematik haben können. Notwendig ist daher ein neuer Zugang, um zu untersuchen, welche Fähigkeiten Kinder im Vorschulalter besitzen. Man wird von den traditionellen Stereotypen Piagets Abstand nehmen und die Fähigkeiten der Kinder im Zusammenhang mit dem Erwerb mathematischer Kenntnisse in der Schule betrachten. Es müssen Aufgaben entwickelt werden, die für die kleinen Kinder einen Sinn haben. Ziel dabei ist es, nicht die Schwächen, sondern die Möglichkeiten der Kinder zu untersuchen.

2.2 Die mathematischen Grundfertigkeiten in der Grundschule
Gemäß dem Lehrplan für Grundschulbildung des Bildungsministeriums/des Pädagogischen Instituts Athen (2000) besteht das Unterrichtsvolumen für den Fachbereich Mathematik aus fünf zentralen Bereichen:
1. Aufgaben-Lösung: Aktivierung/Festigung bereits erworbener Kenntnisse, Unterscheidung von "Bekanntem" - "Unbekanntem" und Auswahl des für Lösung Notwendigen, Formulierung von Zwischenfragen, Aufgaben-Lösung, exakte Beantwortung, Vermutungen über die Lösung, weitere Lösungen (2., 3. Weg, offene Fragen).
2. Rechnen: Unterrichtung der Bereiche "ganze Zahlen", "Dezimalzahlen", "Bruchzahlen" und "gemischte Zahlen" sowie deren Anwendung bei der Lösung von Rechenaufgaben.
3. Geometrie: zwei aufeinanderfolgende Ebenen "Wiedererkennung", d.h. die geometrische Form als Ganzes und "Analyse", d.h. die Eigenschaften der Form, das Verhältnis der geometrischen
Formen zueinander, deren Zuordnung.
4. Messungen: Länge/Breite/Höhe, Masse (Gewicht), Oberfläche, Volumen (Raum) von festen Körpern und Flüssigkeiten, Winkel, Zeit, Geld und ihre Anwendung im täglichen Leben.
5. Sammlung und Verarbeitung von Daten: d.h. Daten einholen, darstellen und interpretieren.

Damit ein Grundschüler in der Lage ist, sich Wissen auf diesen Gebieten anzueignen, benötigt er ein "Alphabet" der Mathematik. In der griechischen Sprache - sowohl der mündlichen als auch der schriftlichen - stehen uns 24 Buchstaben zur Verfügung. Etwas Entsprechendes benötigen wir auch in der Mathematik.
Im Folgenden werden die notwendigen Voraussetzungen angeführt, die ein Grundschulabsolvent benötigt, um im Gymnasium und später im Lyzeum, aber auch im Laufe seines Studiums und schließlich im Alltagsleben sowie bei der Berufswahl zurückgreifen kann. Aus diesem Grund ist es notwendig, dass keine Wissenslücken oder Mängel an Mathematikkenntnissen entstehen, da ein Schüler
dem Unterricht nicht folgen kann, ohne den Begriff der Zahl und des Zahlensystems sowie entsprechende Rechenarten aktivieren zu können.
Grundmechanismen bei der Aneignung von Wissen:

2.2.1 Die Zuordnung ...
ist der Prozess, in dessen Verlauf der Schüler Dinge in Kategorien zusammenfasst, indem er von einer oder mehreren Gemeinsamkeiten ausgeht; er ordnet z.B. der einen Kategorie die "Boote" zu, während er die "Schiffe" einer zweiten Kategorie zuordnet; entsprechend verfährt er auch mit den "PKWs" den "Bussen" und schließlich den "Helikoptern" und "Flugzeugen":

Boote

Schiffe

PKW

Busse

Helikopter

Flugzeuge

Anschließend kann er sie zu Oberkategorien zusammenzufassen. "Boote und Schiffe", "PKWs und Busse", "Helikopter und Flugzeuge" werden jeweils in drei verschiedene Gruppen zusammen gefasst, wobei sie sich durch eine andere Eigenschaft von den übrigen getrennt werden (so entsteht auch die Notwendigkeit der Benennung dieser Kategorien): Die ersten beiden befinden sich "auf dem Wasser", die beiden andere "auf dem Festland" und die restlichen "in der Luft".

Auf diese Weise wird der Schüler auch in die "Bildung von Kategorien" eingeführt. Danach kann er eine allgemeinere zusammenfassende Kategorie bilden: "Verkehrsmittel", indem er diese sogar frei
in Form eines Diagramms darstellt oder wie oben:

Wird in der Tabelle eine Doppeleintragung erstellt, so wird der Schüler auch in die "Multiplikation von Kategorien" eingeführt:

	Meer	Land	Luft
Boote	X
Schiffe	X
PKW		X
Busse		X
Helikopter			X
Flugzeuge			X

Abschließend wird der Begriff des systematischen Zuordnens eingeführt. Vom "Teil" geht er zum "Ganzen" und umgekehrt. Dies trägt zur Erfassung des Begriffs der Zahl bei und spielt eine große Rolle bei der Aneignung von Fertigkeiten.

2.2.2 Entsprechung ...
bezeichnet den Vergleich und den Bezug von zwei oder mehr Gesamtgruppen mit- bzw. zueinander sowie das Zusammensetzen/Herausfinden von Gemeinsamkeiten.
Entsprechungen dieser Art gibt es viele: 1:1, "eins zu eins", z.B. ein Kind auf einem Stuhl; 1:2, "eins zu zwei", z.B. ein Schultisch für zwei Schüler; 1:3, "eins zu drei, wie z.B. drei Bleistifte in einem Pennal, usw., sowie die umgekehrten Entsprechungen "viele zu 1", z.B. 17 Schüler in einer Klasse, und "viele zu viele", z.B. drei Kleider mit unterschiedlicher Farbe und drei Paar Schuhe unterschiedlicher Farbe. Daraus lassen sich Paare bilden: "grauer Hut - blaue Schuhe", "grauer Hut - braune Schuhe" usw. ...
Besonders durch das Verhältnis "1:1" (eins zu eins) lernen die Kinder zu vergleichen und das Resultat zu ermitteln, ohne die Anzahl der zwei Gruppen zu kennen, selbst ohne diese überhaupt zu kennen oder zu benennen. Der Schüler, der beispielsweise sieht, dass alle Stühle der Klasse von seinen Mitschülern besetzt sind, und er sich nicht setzen kann, versteht, dass die Anzahl der Schüler größer ist als jene der Stühle. Wenn kein Stuhl übrig bleibt, dann haben die zwei Gruppen "Stühle", bzw. "Schüler" die gleiche Anzahl, während die Anzahl der Stühle größer ist, wenn es leere Stühle gibt. Man kann dadurch das Verhältnis im Sinne von: "soviel … wie…", "mehr … als …", "weniger … als …" ableiten.
Die Entsprechung findet mengenmäßig statt; der Schüler begreift dadurch auch, dass die Menge gleich bleibt, ebenso die Zahl (7.- 8. Lebensjahr), das Gewicht (9. Lebensjahr) und das Volumen (11. Lebensjahr). Bekannt sind in diesem Zusammenhang die Experimente von Piaget mit dem kleinen und breiten, bzw. hohen und schmalen Glas, die genau die gleiche Menge Wasser enthalten.

2.2.3 Reihenbildung
Wie das Wort selbst schon aussagt, werden bei diesem Vorgehen "Reihen" gebildet, indem sich die Schüler im Turnsaal der Größe nach nebeneinander aufstellen, mit dem kleinsten beginnend oder umgekehrt: vom größten zum kleinsten Kind. Ein Beispiel für doppelte Reihenbildung wäre die Gläser unterschiedlicher Größe und Breite in eine Reihe zu stellen, gleichzeitig von beiden Dimensionen ausgehend.
Durch die Aufstellung von Reihen entwickeln und entdecken die Kinder "Entsprechung" und umgekehrt; aus den Entsprechungen ermitteln sie den Bezug von Personen und Dingen zueinander. Auf diese Weise werden die Ordnungszahlen eingeführt (doppelte Beziehung): z.B. der Schüler, der beim Wettlauf auf Platz fünf kam, befindet sich vor dem Schüler auf Platz und nach dem Schüler auf Platz vier.
Diese drei Formen der Auseinandersetzung - Zuordnung, Reihenbildung (einfach und mehrfach) und Beibehaltung - spielen eine zentrale Rolle bei der Erfassung und Entwicklung des Zahlbegriffs sowie bei der Aneignung von Fertigkeiten wie der des Zählens, des Kalkulierens, der Messung von Größen etc.

2.2.4 Die Gesamtgruppe ...
charakterisiert Gruppen, Kategorien von Lebewesen und Gegenständen, die irgendein gemeinsames Kennzeichen haben. Ein Schüler sagt beispielsweise: "Die Dinge, die in meiner Schultasche sind ..."; ein anderer sagt: "Meine Mitschüler", der nächste sagt: "Mein Spielzeug" usw.
Es handelt sich um einen Begriff, den das Kind von früher Kindheit an in seinem täglichen Leben intuitiv erlebt; das genaue Verständnis der Oberbegriffe erfolgt allerdings erst in der Schule.
Beispiele für Oberbegriffe: "Die Buben der A' Klasse", "die Schüler der Klasse A' usw.
Grafisch dargestellt sieht es wie folgt aus:

Indem die Schüler verschiedene Elemente den jeweiligen Gruppen zuordnen, lernen sie in Kategorien einzuteilen, und in Kategorien 2. und 3. Ranges (Oberkategorien); sie lernen auch Untergruppen zu bilden: die Buben der Klasse B` sind eine Untergruppe der Gesamtgruppe aber auch der höheren Gruppe "Schüler der Grundschule". Die lernen auch Aufgaben mit Oberbegriffen zu lösen, egal ob es sich um gleichartige Gruppen (z.B. Buben zu Buben) oder um Gruppen unterschiedlicher Art (z.B. Buben zu Mädchen) handelt.
Darüber hinaus lernen sie die jeweilige "Verbindungsstelle", bzw. den Trennpunkt der zwei Kategorien zu erkennen: z.B. "Schüler, denen nur das Meer gefällt" - "Schüler, denen nur die Berge gefallen", Gemeinsamkeit: "Schüler, denen sowohl das Meer als auch die Berge gefallen".

Ein Beispiel für Überschneidung

2.2.5 Zählen, Zahlbegriff und Zahlensystem
Das Kind beginnt zunächst mit den Fingern einer Hand und später mit den Fingern beider Hände zu zählen; es benutzt die Finger als "fassbare" Hilfsmittel des Zählens. Damit es aber fehlerlos zählen lernt, muss das Kind den Zahlbegriff erfassen: Bezeichnungen der Zahlen und die entsprechende Anordnung im Zahlensystem sowie ihre Symbole (Ziffern).
Als klassisch werden auch hier die Experimente zum Zählen von Piaget angesehen:
In der Absicht festzustellen, inwieweit und wann die Kinder die absolute Bedeutung (dass eine beliebige Zahl, z.B. die 7, eine Menge von Dingen, z.B. sieben Bücher oder sieben Personen usw. ) und die Reihenordnung (dass die 7 eine Reihe, eine Ordnung verrät, die 7. Stelle in der Reihe 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…) einer Zahl erfassen, bildete er zwei Reihen von Gegenständen; z.B. fünf Eier und fünf Eierbecher im Verhältnis 1 : 2 und fragte die Kinder, ob in beiden Reihen die gleiche Anzahl von Gegenständen vorhanden sei.
Wenn sie "ja" sagten, vergrößerte er die Länge (nicht die Anzahl der Dinge) der einen Reihe; er legte z.B. die Eier weiter auseinander und fragte die Kinder wieder dasselbe. Kinder im Alter zwischen 2 und 4 Jahren gaben an, dass die auseinandergezogene Reihe mehr Elemente enthalte, dass es z.B. mehr Eier gäbe. Dies war der Fall auch wenn er ein Ei wegnahm, ohne die Länge der Reihe zu verändern. Im siebten Lebensjahr kann das Kind aber dieses Verhältnis verstehen.

2.2.6 Rechenaufgaben, Rechnungsarten
Gemeint ist, dass der Schüler lernt, die vier Grundrechnungsarten richtig auszuwählen, aber auch deren Bedeutung, Eigenschaften und Rolle zu kennen und schließlich sie richtig anzuwenden, um Rechenaufgaben zu lösen.
Folgende Wörter verweisen auf die Addition: "verbinden, zusammen tun, vergrößern, vermischen, zwei Enden zusammenbinden, eine Entfernung nacheinander zurücklegen, addieren, zusammen rechnen, u.ä."
Begriffe, die dem Schüler vermitteln, dass er subtrahieren muss, sind folgende: "herausnehmen, kaputt machen, ausgeben, verbrauchen, (weg)werfen, verlieren, kürzen, usw."

Außerdem muss der Schüler verstehen, dass man in drei Fällen subtrahiert:
• Wenn wir den Rest wissen wollen: jemand hatte 2.000 Dr und hat davon 1.500 Dr ausgegeben. Wieviel Geld hat er noch?
• Wenn wir den Unterschied ermitteln wollen: z.B. Nikos wiegt 42 kg und Georg 48 kg. Um wie viel kg ist Georg schwerer?
• Wenn wir ergänzen wollen: z.B. hat jemand 25.000 Dr gespart und will sich ein Fahrrad kaufen,
das 40.000 Dr kostet. Wie viel Geld braucht er noch?)

Die Multiplikation wird als eine kurze Addition vermittelt, während die Division, bei der die meisten Schüler die größten Schwierigkeiten haben, in Form sich wiederholender Subtaktionen, aber auch als die Umkehrung der Multiplikation vermittelt wird: z.B. 5 x 3 = 15, also auch 15 : 3 = 5 und 15 : 5 = 3 .
Parallel dazu muss sich das Kind das geeignete Vokabular dazu aneignen, da Mathematik für viele noch eine "Fremdsprache" darstellt.
Schließlich muss der Schüler die Grundrechnungsarten und ihre Eigenschaften bei der Lösung von Aufgaben und Problemen besonders in seinem Alltagsleben anwenden.

Nach Piaget gibt es drei notwendige Voraussetzungen für das Verständnis des Zahlbegriffs und die Aneignung der mathematischen Fertigkeiten:
1. Notwendigkeit: Die Kenntnis der qualitativen Elemente des Raums und der Zeit:
• die Bestimmung des Standorts (über, unter, rechts und links);
• der Vergleich und die Anordnung von Größen (kleiner, kürzer etc.)
• die empirische Bestimmung der Dauer eines Ereignisses (z.B. die Schule ist vormittags geöffnet, mittags ruhe ich mich aus, am Nachmittag spiele ich und mache meine Hausaufgaben, in der Nacht schlafe ich);
• Einführung der Synchronisation (der Lehrer und die Lehrerin kamen gleichzeitig in die Klasse);
• Einführung der gleichen Zeitdauer (alle Kinder lernen gleich lang: von 10 bis 11 Uhr)
• Ereignisse aus ihrem Leben in die richtige zeitliche Abfolge zu bringen (aufwachen, Zähne putzen, sich anziehen, frühstücken, zur Schule gehen) ...
2. Notwendigkeit: die Beschäftigung mit dem Prozess der Einteilung, des Vergleichs, des Einordnens und der grafischen Darstellung;
3. Notwendigkeit: Zählen von Größen - Einführung, indem zuerst die Maßeinheit gewählt wird, zunächst willkürlich (z.B. durch Strecken der Beine Arme und Hände), dann mit Hilfe von Streichhölzern, Strohhalmen u.ä. Danach folgt der Vergleich mit der Maßeinheit und die Ermittlung von Bezügen: "mehr… als, weniger… als, gleich… wie…")
Anschließend kann das Dezimalsystem unterrichtet werden. Daran schließt sich die Beschäftigung mit den Bruch-, Misch- und Dezimalzahlen.
Bei all dem muss die Nützlichkeit der Zahl erkennbar werden; sie zeigt die Menge, z.B. 12 Schüler; die Reihenordnung, z.B. 3. Reihe im Theater, 5. Sitz; die Größen, z.B. 32 kg (Gewicht), 1,42 m (Höhe), 40 Grad (Winkel), 60 km/h (Geschwindigkeit), 25 Grad (Temperatur), 10 l Benzin, 20´ Weg, 2,5 x 1,83 (Fläche) und den Kommunikationscode, z.B. Tel.-Nr.: 8612973 oder Kraftfahrzeugkennzeichen: KXO 2883.

weiter zu: 2.3 Moderne Unterrichtsmodelle für die Mathematik

 

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